2019考研数学三答案(01/18)

2019考研数学三答案

 最佳答案：

      一、选择题

      1. 设函数$f(x)=\frac{x}{\ln x }$，则$f(x)$的第二类间断点的个数为2个。

      2. 已知函数$f(x,y)$可微，且$f(1,2)=2$，$f_x(1,2)=3$，$f_y(1,2)=4$，设$z=f(x^2,y^2)$，则$dz _{x=1,y=2}=6xdx 8ydy$。

      3. 设函数$f(x)=\begin{cases}x^{\alpha}\sin\frac{1}{x^{\beta}},x

      eq0\\0,x=0\end{cases}(\beta\gt0)$，若$f(x)$在$x=0$处连续，则$\alpha$的取值范围是$\alpha\gt\beta 1$。

      4. 设$a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nxdx$，则$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(a_n a_{n 2})$的值为$1$。

      二、填空题

      9. $\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^x\ln(1 t)dt}{x^2}=\frac{1}{2}$。

      10. 曲线$y=\frac{x^2}{2x 1}$的斜渐近线方程为$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$。

      11. 设函数$z=z(x,y)$由方程$e^{z} xyz x \cos x=2$确定，则$dz _{(0,1)}=-dx$。

      12. 设函数$f(x)=\begin{cases}x^2 2x,x\lt0\\x^2-2x,x\geq0\end{cases}$，则$f(x)$的原函数$F(x)=\begin{cases}\frac{1}{3}x^3 x^2 C_1,x\lt0\\\frac{1}{3}x^3-x^2 C_2,x\geq0\end{cases}$。

      三、解答题

      15. 求极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{(1 x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$。

      解：利用等价无穷小和洛必达法则求解。原式$=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{\frac{\ln(1 x)}{x}}-e}{x}=e\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{\frac{\ln(1 x)}{x}-1}-1}{x}=e\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{\ln(1 x)}{x}-1}{x}=-\frac{e}{2}$。